Breve história das funções

     Termo matemático introduzido por Leibniz em 1694, para descrever  quantidades relacionadas a uma curva, introduzindo também igualmente a terminologia de “constante”, “variável” e “parâmetro”.

Estudo do vértice de uma parábola

Animação: Lançamento de projéteis

Animação construída no GeoGebra, disponível em:
Lançamento de Projéteis
(Se a página não abrir, pode ser devido à versões do GeoGebra).

Estratégias didático-pedagógicas e recursos

     Para atividades com os alunos serão utilizados programas digitais – objetos de aprendizagem – além das aulas expositivas dialogadas, sendo que para isto, ao contrário do uso do tradicional quadro de giz, serão utilizados computadores nestas aulas, não que se pretenda abandonar alguns recursos tradicionais, como o já mencionado quadro de giz. E por parte do alunos o uso do caderno, instrumentos de medidas e lápis, são também indispensáveis para o desenvolvimento de atividades como auxílio à melhoria do processo do ensino/aprendizagem.
     Também, espera-se que através de simulações construídas no software GeoGebra, os alunos venham a observar como comportam-se as variáveis referentes: quanto a altura atingida no lançamento de um projétil; quanto ao tempo que o projétil percorre o trajeto e a distância total percorrida pelo mesmo, assim como sua aceleração e velocidade, observações estas possíveis pelo estudo da curva gerada pela imagem da função.

Atividades de aprendizagem

Atividade prática a ser proposta aos estudantes:

     Para esta atividade, além do uso do software GeoGebra, software de domínio público, criado por Markus Hohenwarter, Professor da Johannes Kepler University Linz-Àustria, para o ensino e aprendizagem da matemática, o qual utilizamos neste trabalho, para o estudo da parábola gerada pela função f(h)=-t² + 6t, usada como exemplo, sendo que criou-se também um vídeo, para contribuir para a contextualização sobre o tópico envolvendo matemática e física, sobre lançamento de projéteis, abordando a resolução do problema proposto neste trabalho acadêmico, disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=K4wKZ7bIdpg, pois segundo MORAN (2000): “ O professor tem um um grande leque de opções metodológicas, de possibilidades de organizar sua comunicação com os alunos.”

Atividades de aprendizagem propostas:

a) Discussão através da resolução de situações-problemas, sobre os elementos referentes à funções polinomiais do 2º grau, utilizando-se da animação digital e do vídeo produzido, pelas atividades à seguir:

1) Faça uma pesquisa e disserte em pelo menos uma lauda, sobre funções polinomiais do 1º grau e do 2º grau.

2) Os dirigentes de um centro esportivo desejam cercar uma quadra de basquete retangular e outros aparatos esportivos que estão a sua volta com tela de alambrado. Tendo recebido 200 metros de tela, os diretores desejam saber quais devem ser as dimensões do terreno a cercar com tela para a área seja a maior possível.

3) Em um campeonato de futebol, cada time vai jogar duas vezes com outro. Então:

a) Se o número de clubes é 10, qual é o número de jogos?

b) Se o número de jogos é 42, qual é o número de times?

4) Dada a função quadrática f:ℝ → ℝ definida por f(x) = x² – 6x + 8, determine:

a) os coeficientes a,b e c;

b) f(1), f(0), f(-2) e f(1/2);

c) se existe x ∈ℝ tal que f(x) = 3. S existir, calcule x;

d) se existe x ∈ℝ para o qual f(x) =-1. Se existir, calcule x;

e) se existe x ∈ℝ para que se tenha f(x) =- 3. Se houver, calcule x;

f) se essa função tem raiz. Em caso positivo, calcule-a.

5) Esboce o gráfico da função quadrática f cuja parábola passa pelos pontos (3,-2) e (0,4) e tem vértice no ponto (2,-4); em seguida, verifique qual das seguintes sentenças correspondente a essa função:

a) f(x) = -2x² – 8x + 4

b) f(x)= 2x² – 8x + 4

c) f(x) = 2x² + 8x + 4

6) Dadas as funções f(x) = 3x² + 2 e g(x) = x²:

a) determine qual das parábolas tem “abertura” maior;

b) construa as duas parábolas em um mesmo sistema de eixos e verifique a resposta anterior.

7) Para que valores reais de K a função f(x)= x² – 2x + K tem raízes reais e diferentes?

8) Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de um certo produto é dado por C= x² – 80x + 3000. Nessas condições calcule:

a) a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo;

b) o valor mínimo do custo.

9) Uma região retangular tem perímetro igual a 40m . Quais devem ser as dimensões do retângulo para que a área seja máxima?

10)Determine a Im(f) e o valor máximo ou mínimo para f(x) = x² + 4x – 2.

11) Determine m de modo lque a função f(x)= (3m – 1)x² – 5x + 2 admita valor máximo.

12) Estude o sinal das seguintes funções:

a) f(x)= x² – 7x + 6

b) f(x)= 9x² + 6x + 1

c) f(x) = -2x² + 3x - 4

13) Uma partícula é colocada em movimento sobre um eixo a partir do ponto de abcissa -12, com velocidade inicial de 7 m/s e aceleração constante de -2m/s². Em quanto tempo a trajetória mudará de sentido?

14) Uma partícula é colocada em movimento sobre um eixo. Calcule em quanto tempo a trajetória mudará de sentido nos seguintes casos:

a) a posição inicial lé igual a -3, a velocidade inicial é de 4 m/s e a aceleração constante é de -2 m/s²,

b) a posição inicial la -16, a velocidade inicial é de 12 m/s e a aceleração constante é de -4 m/s²;

c) a posição inicial é igual a 15, a velocidade inicial é de -8 m/s e a aceleração constante é de 2 m/s²;

d) a posição inicial é igual a – 36, a velocidade inicial é de – 18 m/s e a aceleração constante é de 4 m/s².

b) Discussão através da resolução de problemas, sobre os elementos da física, para o lançamento de projéteis, utilizando-se da animação digital e do vídeo produzido, pelas atividades à seguir:

1) Faça uma pesquisa e disserte em pelo menos uma lauda sobre a História da Física e Lançamento de Projéteis.

2) Uma pessoa arremessa obliquamente uma bola com velocidade inicial V₀= 10 m/s de um ângulo de lançamento =60°. Suponha que g= 10m/s², despreze a resistência do ar e considere o instante de lançamento como a origem da contagem do tempo (t= 0).

a) No instante t= 0,50s, qual é o valor da velocidade da bola?

b) Qual é a posição da bola no instante t= 0,50s?

c) Determine os valores das componentes V_x e V_y da velocidade da bola no instante t= 1,22s.

d) Determine a posição da bola no instante t=1,22s.

e) Calcule o instante em que ela chega ao ponto mais alto de sua trajetória.

f) Qual o valor da altura máxima H alcançada pela bola?

3) Numa competição nos jogos de Winnipeg, no Canadá, um atleta arremessa um disco com velocidade de 72 km/h, formando um ângulo de 30º com a horizontal. Desprezando-se os efeitos do ar, a altura máxima atingida pelo disco é? (g=10 m/s²)

4)Uma bola é lançada horizontalmente com velocidade V_0(horz)= 15 m/s, de um ponto situado a 20 m do solo. Considere g = 10 m?s² e despreze a resistência do ar.

a) Calcule o tempo que a bola demora para atingir o solo (tempo de queda).

b) A que distância da vertical de lançamento a bola atinge o solo?

5) Um projétil, lançado com velocidade inicial Vo formando ângulo θ com a horizontal, descreve uma trajetória parabólica. No ponto de altura máxima (P) e no ponto em que cruza a linha horizontal da partida (Q) sua velocidade e sua aceleração, respectivamente são:

6) Uma bola é lançada do solo com velocidade Vo= 20 m/s, formando um ângulo θ=30º com a horizontal. Considere g= 10 m/s² e despreze a resistência do ar. Determine:

a) o tempo de subida t_s, isto é, o intervalo de tempo que a bola demora para atingir o vértice A da parábola;

b) o tempo de descida t_d;

c) a altura máxima h_max;

d) o alcance horizontal a;

e) a velocidade da bola ao atingir o vértice A da parábola.

7) Um jogador de futebol chuta uma bola, inicialmente parada no solo, com velocidade inicial de 25 m/s e formando um ângulo de 37º com a horizontal. Despreze a resistência do ar. Dados: g= 10 m/s²; sem 37º= 0,60; cos 37º=0,80.

a) Após quanto tempo, a partir do lançamento, a bola retorna ao solo?

b) Trace uma figura que mostre o movimento da bola, com os pontos de altura máxima e alcance.

8) Um avião, em voo horizontal a uma altura h, deve soltar um pacote para um grupo de pessoas no mar. Para que o pacote caia o mais próximo das pessoas, ele deve ser solto quando o avião estiver passando exatamente sobre as pessoas, após o avião passar pelas pessoas ou antes de o avião passar pelas pessoas?

9) Na lua, um astronauta lança horizontalmente uma pedra com velocidade de 10 m/s de um ponto situado a 7,2 m de altura em relação ao solo. Sendo g_Lua= 1,6 m/s² e lembrando que a Lua é desprovida de atmosfera, determine a distância, na horizontal, percorrida pela pedra até atingir o solo.

10) Uma bola , ao ser jogada verticalmente para cima, atinge uma altura de 125 m (g= 10 m/s²). O tempo de sua permanência no ar é de?

11) Um projétil é lançado a uma velocidade a uma velocidade inicial de 50 m/s, fazendo um ângulo de 30º com a horizontal. Considerando g= 10 m/s², o tempo para que o projétil atinja o ponto mais alto da trajetória, em segundos, vale:

a) 2,5      b) 3,5      c) 4,0      d) 5,0      e)8,0

Referências bibliográficas

Dante, L. R.; Matemática Contexto & Aplicações. Ensino Médio. São Paulo: Ática. 2002.

Funções: Um pouco de história: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm28/hist.htm>. 2000. Acesso em 3 Jul 2011.

Geogegra. Ajuda. Disponível em:<http://www.geogebra.org/help/docupt_BR/3213TextospanlangENGB.html>. 2011. Acesso em 3 Jul 2011.

Gravina M.A; Peixoto L.; Notare M.R. Funções e gráficos um curso introdutório. Disponível em:<http://penta.ufrgs.br/edu/telelab/mundo_mat/cfuncao/fun_graf.htm>. 1999. Acesso em 3 Jul 2011.

Machado N. J.; Interdisciplinaridade e Matemática. Disponível em:< http://www.proposicoes.fe.unicamp.br/~proposicoes/textos/10-artigos-machadonj.pdf>. 1993. Acesso em 3 Jul 20011.

Máximo, A.; Curso de Física / Antônio Máximo, Beatriz Alvarenga. São Paulo: Scipione. 1997.

Ministério da Educação e Cultura/Brasil. Curso Mídia na Educação: Mídia Informática. Disponível em: < http://www.eproinfo.mec.gov.br/webfolio/Mod82139/etapa3/leituras/index.htm>. 2011. Acesso em 3 Jul 2011.

Moran J.M. Ensino e Aprendizagem inovadoras com novas tecnologias. Disponível em: < http://www.eca.usp.br/prof/moran/inov.htm#educ>. 2000. Acesso em 3 Jul 2011.

Presidência. O que é  software livre? Disponível em: < http://www.softwarelivre.gov.br/tire-suas-duvidas/o-que-e-software-livre>. 2011. Acesso em 3 Jul 2011.

Programa Educar. Mecânica Gráfica para alunos do Ensino Médio. Disponível em: <http://educar.sc.usp.br/fisica/indice.html>. 2002. Acesso em 3 Jul 2011.

Parâmetros Curriculares Nacionais-Brasil. Disponível em: < http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/14_24.pdf  >. 2000. Acesso em 3 Jul 2011.

Santos, V. F. O uso de softwares no ensino de funções quadráticas no ensino de funções quadráticas em projeto educacional de jovens e adultos. 1992. Disponível em: <www.sbem.com.br/files/ix_enem/Poster/Trabalhos/PO07766223821T.doc>. Acesso em 3  Jul 2011.